Otimização de um Disco de Freio

Apresentação do Problema

No artigo passado, foi simulado o comportamento térmico de um disco de freio durante a frenagem para verificar se o mesmo cumpria o requisito de aquecimento máximo de 150°C. A simulação validou o projeto do disco, encontrando um aquecimento de 33,5ºC. Devido ao aquecimento baixo e à grande massa do disco (17kg, um disco de 400mm de diâmetro e 50mm de espessura), é possível se pensar na otimização das dimensões do disco para reduzir sua massa, de forma que se encontre o disco mais leve que cumpra o requisito de aquecimento.

Fluxo de Trabalho

Encontrar forma de prever o aquecimento para um disco qualquer: dadas as devidas hipóteses simplificadoras, encontrar uma equação que, para um dado diâmetro e dada espessura, consiga estimar o aquecimento máximo do disco durante a frenagem

Simular vários discos para testar e corrigir a estimativa: parametrizar a simulação do disco já feito para funcionar com qualquer disco e testar vários discos diferentes; formular uma equação genérica similar à primeira, determinando seus coeficientes através do método dos mínimos quadrados (usando o Solver do EXCEL), corrigindo a equação de estimativa para reduzir o erro e prever melhor o comportamento do disco.

Otimizar a massa do disco com base na estimativa corrigida: usando o Solver do EXCEL novamente, determinar quais devem ser a dimensões do menor disco possível; fazer o mesmo teste de forma gráfica, usando um mapa de viabilidade.

Testar o disco final para confirmar o aquecimento: depois de obtido o disco otimizado de forma estimada, testar o mesmo para verificar se a estimativa estava correta e aprovar ou não o novo projeto de disco.

Estimativa de Aquecimento

Primeiramente, vamos supor que o aquecimento do disco é proporcional ao fluxo que é dissipado no mesmo, então:

\Delta T \propto q''

Sabe-se também que o fluxo dissipado no freio é o calor dissipado (que permanece constante para qualquer disco, pois depende exclusivamente das características do sistema que está sendo freado) dividido pela área superficial em que este calor é dissipado, neste caso, a área da esteira, que muda de dimensões a depender do diâmetro ou espessura, pois é dada por

A_{esteira} = \pi D E

Em que D é o diâmetro do disco e E é a espessura. Portanto, pode-se dizer que

\Delta T \propto \frac{Q}{A_{esteira}} \rightarrow \Delta T \propto \frac{Q}{\pi D E}

Ou, como Q (calor dissipado) e \pi são constantes:

\Delta T \propto  \frac{1}{D E}

O que implica, por exemplo, que ao reduzir o diâmetro pela metade, é esperado que o aquecimento ao final da frenagem dobre; ou ao se dobrar a espessura, é espero que este aquecimento caia pela metade. Como são proporcionais, a seguinte relação pode ser criada para comparar dois freios diferentes, o freio 1 e o freio 2:

\Delta T_1 D_1 E_1 = \Delta T_2 D_2 E_2 = C (constante)

Sendo que, se o freio 2 for um freio em que o aquecimento, diâmetro e espessuras já são conhecidos (como é o caso do primeiro disco de freio, do artigo passado, que já foi simulado), é possível encontrar o valor desta constante, podendo encontrar a seguinte relação para prever o aquecimento de um disco qualquer:

\Delta T_1 = \frac{C}{D_1 E_1}

Utilizando as unidades de aquecimento em ºC e diâmetro e espessura em milímetros, a constante é calculada utilizando os dados do disco de freio já simulado (diâmetro de 400mm, espessura de 50mm e aquecimento de 33,5ºC), portanto

C = (\Delta T . D . E)_{conhecido} = 670.000

Portanto o aquecimento de um disco qualquer é estimado por:

\Delta T = \frac{670.000}{D_{mm} E_{mm}}

Agora, que conseguimos esta equação, podemos tentar estimar como irá aquecer um disco apenas sabendo seu diâmetro e espessura.

Testando a Estimativa

Para testar a equação obtida, foram simulados 13 discos diferentes.

Diâmetro (mm)

Espessura (mm) Aquecimento Estimado (ºC) Aquecimento Simulado (ºC) Erro (%)
115 12 485,51 515,59 5,83
145 32 144,40 151,43 4,64
175 22 174,03 180,54 3,61
205 42 77,82 80,02 2,75
235 17 167,71 171,28 2,08
265 37 68,33 69,4 1,54
295 27 84,12 85,05 1,10
325 47 43,86 44,18 0,72
355 14,5 130,16 130,68 0,40
385 34,5 50,44 50,51 0,13
206 27 120,46 123,82 2,71
294 42 54,26 54,87 1,11
205 42 77,82 80,02 2,75

O erro médio da estimativa foi de 2,3%, erro bastante aceitável, dada a série de incertezas na própria simulação.

No entanto, como dados da simulação já foram coletados, foi possível usá-los para encontrar uma correlação que tenha uma forma parecida com a equação usada, só que um pouco modificada para reduzir o erro. A relação é do tipo:

\Delta T = \frac{C_1}{D^{C_2} E^{C_3}}

Percebe-se a semelhança entre a nova equação proposta e a antiga (que é apenas um caso particular em que C1 = 670.000, C2 = 1 e C3 = 1). Usando o Solver do EXCEL, foi possível encontrar os valores de C1, C2 e C3 que minimizam o erro da estimativa. Estes valores foram C1 = 895.077, C2 = 1,048 e C3 = 1,001, tornando a equação:

\Delta T = \frac{895.077}{D^{1,048} E^{1,001}}

O erro médio caiu de 2,3% para a apenas 0,1%!

Otimização através do EXCEL

A função objetivo, que é o que se deseja reduzir, é a massa. Neste caso, apenas a massa de um cilindro, ou área da base vezes altura vezes a densidade:

m = \frac{\rho \pi D^2 E}{4}

E os requisitos para a otimização são:

  • Diâmetro entre 150mm e 400mm
  • Espessura entre 10mm e 50mm
  • Aquecimento menor ou igual a 150ºC

Ou seja, vamos buscar o disco ótimo em um universo de discos de diâmetros de 150mm a 400mm e espessuras de 10mm a 50mm, sendo que o disco deve obedecer o critério de aquecimento máximo de projeto, que é 150ºC.

A resposta dada pelo Solver do EXCEL foi um diâmetro 150mm e espessura de 31mm, um disco que terá aquecimento de exatamente 150ºC e massa de apenas 1,5kg (redução de mais de 90% da massa)

Otimização de forma gráfica

Sabendo a relação entre o aquecimento do disco e o diâmetro e espessura, é possível plotar os contornos de aquecimento, como mostra a figura.

contornos de aquecimento

As áreas mais claras são os discos que aquecem mais, já as mais escuras, os discos mais frios. Percebe-se o que já era esperado: quanto maior o disco, seja em diâmetro ou em espessura, mais frio ele será. No entanto, este gráfico não traz uma visão clara de quais discos vão aquecer mais ou menos que 150ºC, ou seja, este gráfico não deixa claro qual é a região viável dos discos; para isto, vejamos o mapa de viabilidade.

zona de viabilidade

Agora sim este gráfico traz dados importantes. Em toda a região verde, os discos tem aquecimento dentro do permitido, ou seja, o disco ótimo está dentro da região verde. No entanto, como queremos reduzir a massa, os contornos de massa também foram plotados na figura. Percebe-se o que também é esperado, quanto menor o disco, seja em diâmetro ou em espessura, menor é sua massa. Portanto é necessário encontrar um ponto que tenha massa pequena o suficiente, mas ainda sim aguente o aquecimento adequado. Este ponto ótimo é o ponto marcado na figura, de 150mm de diâmetro e aproximadamente 31mm de espessura, o mesmo resultado dado pela otimizacão usando o Solver do EXCEL.

Teste do Disco Otimizado

Agora que já obtivemos o disco otimizado de duas maneiras diferentes e consistentes entre si, vamos, por fim, testar seu desempenho térmico e verificar se o mesmo se comporta da maneira esperada.

Os contornos obtidos já mostram o aquecimento esperado (de exatamente 150ºC), e um comparativo com o disco antigo.

comparativo temperatura

Além do mais, a redução final de massa foi de mais de 90% (de 17kg para 1,5kg), escolhendo, portanto, o disco mais leve que cumpre exatamente a função exigida!

Observações Finais

Ao utilizarmos as hipóteses simplificadoras do artigo passado (desconsiderar efeitos de borda e radiação) estamos cometendo erros cada vez maiores quando alcançamos temperaturas maiores (maior perda por radiação) e discos menores (maiores efeitos de borda). No entanto, percebe-se que estamos desconsiderando perdas, ou seja, estamos supondo que o disco aquece mais do que deveria para nosso projeto, fazendo com que, no final das contas, nossos “erros” tornem o disco mais seguro, pois quando ele deveria aquecer 150ºC, na vida real está aquecendo algo em torno de 140ºC.

Deixe um comentário

Preencha os seus dados abaixo ou clique em um ícone para log in:

Logotipo do WordPress.com

Você está comentando utilizando sua conta WordPress.com. Sair / Alterar )

Imagem do Twitter

Você está comentando utilizando sua conta Twitter. Sair / Alterar )

Foto do Facebook

Você está comentando utilizando sua conta Facebook. Sair / Alterar )

Foto do Google+

Você está comentando utilizando sua conta Google+. Sair / Alterar )

Conectando a %s