Projeto de Isolamento Térmico

Apresentação do problema

Após apresentar ao seu chefe o projeto da tubulação do artigo passado (diâmetro externo de 88mm e 600m de comprimento), e informá-lo do possível prejuízo de R$12.500,00 por mês com perdas térmicas, ele pede que você projete um isolamento térmico para a tubulação, para reduzir as perdas. Porém, devido à situação financeira da empresa, seu chefe exige que o projeto tenha um orçamento abaixo de R$10.000,00.

Ao entrar em contato com o fabricante, você recebe 3 opções de material e 5 opções de espessura 3/8” (9,5mm), 1/2″ (12,7mm), 3/4″ (19,0mm), 1” (25,4mm) e 1-1/2” (38,1mm), totalizando 15 opções de isolante. A cotação do metro de isolante, incluindo frete e instalação dada foi:

Material 3/8″ (9,5mm) 1/2″ (12,7mm) 3/4″ (19,0mm) 1″ (25,4mm) 1-1/2″ (38,1mm)
Tipo A (0,025W/mK) R$ 13,86 R$ 17,62 R$ 25,05 R$ 31,81 R$ 45,33
Tipo B (0,033W/mK) R$ 10,50 R$ 13,35 R$ 18,98 R$ 24,10 R$ 34,34
Tipo C (0,040W/mK) R$ 8,66 R$ 11,01 R$ 15,66 R$ 19,88 R$ 28,33

Fluxo de Trabalho

1. Preparação para resolver o problema: coletar os dados da tubulação \rightarrow pesquisar os possíveis isolantes e seus preços \rightarrow listar as restrições e objetivos do projeto (orçamento, prazo, manutenção, qualidade).

2. Usar a teoria para prever resultados: encontrar uma aproximação para estimar a temperatura na superfície da tubulação \rightarrow usar este valor para estimar o coeficiente de convecção para cada caso \rightarrow estimar a perda por metro para cada condutividade e espessura de isolante.

3. Usar simulação para confirmar resultados: criar uma geometria parametrizável (sendo possível alterar a espessura do isolante) \rightarrow gerar uma malha confiável numericamente (alto refinamento próximo às paredes externas do isolante) \rightarrow gerar um setup parametrizável (sendo possível alterar a condutividade do isolante) \rightarrow resolver todos os casos fornecidos pelo fabricante.

4. Comparar e analisar os resultados: comparar os valores obtidos por simulação e na teoria \rightarrow calcular a economia mensal, investimento total e tempo de retorno do investimento para cada caso \rightarrow dadas as restrições e objetivos do projeto, selecionar o isolamento adequado.

(Sugestão do leitor João Felipe Sippel)

 

Cálculo da Perda Térmica

Sabendo que a parede externa da tubulação (e interna do isolante) está a 60°C, é necessário saber qual a diferença de temperatura entre a parede externa do isolante e o ambiente, aqui chamada de \theta.

É possível representar o conjunto isolante-meio através de resistências térmicas [1]:

circuito-termico

Como o fluxo é o mesmo entre 60°C e Ts e 25°C e Ts:

q' = \frac{\Delta T - \theta}{R_{cond}} = \frac{\theta}{R_{conv}}

Em que \Delta T  é a diferença total de temperatura, 35°C neste caso, e \theta é a diferença de temperatura da parede externa do isolante e o ambiente, usada nos cálculos de convecção. A resistência condutiva é dada por [1]:

R_{cond} = \frac{1}{2\pi k_{iso}}\ln{\frac{D_e}{D_i}}

Em que k_{iso} é a condutividade térmica do isolante, D_i  é o diâmetro interno do isolante (88mm), D_e  é o diâmetro externo do isolante (ou D_e = D_i + 2t em que ‘t’ é a espessura do isolante).

A resistência convectiva é dada por [1]:

R_{conv} = \frac{1}{\pi D_e h} = \frac{1}{\pi h (D_i + 2t)}

Em que ‘h’ é o coeficiente convectivo, que é calculado através da correlação [2]:

h = \frac{k_{ar}}{D_i + 2t}Ra^{0.25}Pr^{0.047}

Em que Ra, número de Rayleigh, é um adimensional relacionado à convecção natural e Pr, número de Prandtl, é um adimensional relacionado às propriedades do fluido. Como o cálculo do número de Rayleigh é dado por

Ra = \frac{g\beta (T_s - T_\infty)D^3}{\alpha \nu} = \frac{g\beta \theta (D_i + 2t)^3}{\alpha \nu}

Há um impasse na hora de calcular o diferencial de temperatura \theta, pois a substituição do valor de ‘h’ (proporcional a \theta^{0.25}) na igualdade dos fluxos de calor gera uma equação não linear em \theta, como mostra a equação:

\frac{\Delta T - \theta}{R_{cond}} = \frac{\theta}{R_{conv}} \rightarrow \frac{(\Delta T -\theta)2\pi k_{iso}}{\ln{(1+2t/D_i)}} = \theta \pi h(D_i +2t)

Para facilitar a solução da equação (e consequentemente a obtenção do valor da temperatura superficial do isolante), é necessário linearizar o coeficiente de convecção com relação à variação de espessura e de temperatura, pois o ‘h’ é proporcional a \theta^{0.25}. Para linearização, basta utilizar uma expansão por Série de Taylor e truncá-la no segundo termo, portanto:

h(\theta,D_i+2t) \approx h_0 + (\theta - \theta_0)\left( \frac{\partial h}{\partial \theta}\right)_{\theta_0,D_i} + (2t) \left( \frac{\partial h}{\partial D_e}\right)_{\theta_0,D_i}

Em que h_0 = h(\theta_0,D_i) é um valor de coeficiente de convecção já conhecido a uma dada diferença de temperatura e dado diâmetro externo. Neste caso, do artigo passado, obteve-se o valor de 4,864W/m2K para uma diferença de temperatura de 35°C e uma espessura 0mm, pois não havia isolamento. Portanto:

h_0 = h(\theta _0,D_i) = h(35^{\circ}C,88mm) = 4.864W/m^2K

Depois de suficiente manipulação algébrica, encontra-se:

h(\theta,D_e) = h_0 \left[ 1 + \frac{1}{4}\left( \frac{\theta}{\theta_0} - \frac{D_i + 2t}{D_i} \right) \right]

Tornando linear a relação entre o coeficiente de convecção e a diferença de temperatura e a espessura. Depois da substituição do valor de ‘h’ linearizado na igualdade dos fluxos, encontra-se uma extensa equação de segundo grau para encontrar o valor de \theta:

\left( \frac{C}{4\theta_0} \right) \theta^2  + \left( 1 + C - \frac{C}{4} \frac{D_i + 2t}{D_i} \right) \theta - \Delta T = 0

Em que

C = \frac{h_0(D_i + 2t)}{2k_{iso}}\ln{\left( \frac{D_i + 2t}{D_i} \right)}

Apesar de extensa, a solução da equação é obtida simplesmente aplicando o teorema de Bhaskara. Os cálculos para todos os casos podem ser feitos utilizando uma calculadora construída no Excel:

calculadora-de-teta

Sabendo então a espessura do isolante e sua condutividade térmica, encontra-se a diferença de temperatura da superfície da tubulação com o meio ambiente, consequentemente encontra-se o coeficiente de convecção e a perda térmica por metro de tubulação, o objetivo final destes cálculos. Portanto, a perda térmica por metro estimada para cada caso dado pelo fornecedor será:

Material 3/8″ (9,5mm) 1/2″ (12,7mm) 3/4″ (19,0mm) 1″ (25,4mm) 1-1/2″ (38,1mm)
Tipo A (0,025W/mK) 17,35 W/m 14,73 W/m 11,57 W/m 9,67 W/m 7,50 W/m
Tipo B (0,033W/mK) 20,58 W/m 17,77 W/m 14,25 W/m 12,05 W/m 9,47 W/m
Tipo C (0,040W/mK) 22,95 W/m 20,05 W/m 16,32 W/m 13,94 W/m 11,07 W/m

A comparação deve ser feita com o valor sem isolante, obtido no artigo anterior: 47,07W/m.

É possível também plotar uma superfície de resposta, mostrando a relação da perda térmica por metro com a espessura do isolante (variando de 0mm a 50mm) e com sua condutividade térmica (variando de 0,010W/mK a 0,100W/mK)

perda-por-metro-analitico-1

Observe que a superfície de resposta mostra o comportamento esperado: quando menor a espessura ou maior a condutividade térmica (ou seja, quanto pior o isolamento), mais próxima a perda térmica se torna do caso sem isolamento, 47,07W/m.

Simulação Paramétrica dos Isolamentos

Tudo que não for especificado aqui nesta seção tem os mesmos valores utilizados na simulação do artigo anterior.

É necessário que o domínio seja grande o suficiente para que a corrente de ar quente que sobe da tubulação aquecida seja dispersa no ar ambiente, por isso, aumentou-se, quando comparado à simulação do artigo anterior, em 3 vezes a distância da tubulação até o topo do domínio (sugestão do leitor Ramon Papa).

Para facilitar a parametrização da simulação, a malha gerada foi um pouco diferente da gerada no artigo anterior, como mostrado na figura.

Como exemplo, as figuras abaixo mostram os contornos de temperatura para um isolante de 1-1/2” (38,1mm) de espessura e condutividade térmica de 0,025W/mK.

Observe que grande parte do gradiente de temperatura se concentra no isolamento, reduzindo a temperatura superficial em contato com o ambiente, consequentemente reduzindo as perdas por convecção natural.

Os resultados obtidos de perda térmica por metro usando simulação foram:

Material 3/8″ (9,5mm) 1/2″ (12,7mm) 3/4″ (19,0mm) 1″ (25,4mm) 1-1/2″ (38,1mm)
Tipo A (0,025W/mK) 17,31 W/m

(0,24%)

14,65 W/m

(0,56%)

11,48 W/m

(0,82%)

9,60 W/m

(0,70%)

7,39 W/m

(1,43%)

Tipo B (0,033W/mK) 20,64 W/m

(0,27%)

17,76 W/m

(0,04%)

14,20 W/m

(0,33%)

12,02 W/m

(0,23%)

9,69 W/m

(2,26%)

Tipo C (0,040W/mK) 23,10 W/m

(0,65%)

20,11 W/m

(0,30%)

16,34 W/m

(0,10%)

13,96 W/m

(0,17%)

11,38 W/m

(2,69%)

Os valores entre parênteses representam a diferença percentual para o valor calculado na teoria. A diferença média foi 0,7%, considerado muito bom, devido às incertezas trazidas pelas correlações utilizadas para estimar os valores do coeficiente de convecção na teoria. Abaixo a tabela é mostrada em forma de gráfico:

perda-por-metro-comparativo

Na representação gráfica fica visível, principalmente na região direita do gráfico, que quando a espessura aumenta, o erro no valor estimado também aumenta. Este aumento proporcional à espessura se deve ao erro de truncamento que surge ao linearizar o coeficiente de convecção.

Análise Econômica

Sabendo, do artigo anterior, que sem isolamento térmico (perda térmica de 47,07W/m), o prejuízo mensal para a indústria é de R$12.589,94, é possível recalcular este prejuízo (e consequentemente a economia mensal) baseado nas novas perdas térmicas após a adição do isolamento, como mostra a tabela de economia mensal.

Material 3/8″ (9,5mm) 1/2″ (12,7mm) 3/4″ (19,0mm) 1″ (25,4mm) 1-1/2″ (38,1mm)
Tipo A R$ 7.949,94 R$ 8.660,52 R$ 9.507,33 R$ 10.009,55 R$ 10.599,92
Tipo B R$ 7.060,38 R$ 7.829,73 R$ 8.780,73 R$ 9.363,08 R$ 9.985,51
Tipo C R$ 6.403,23 R$ 7.201,96 R$ 8.209,06 R$ 8.844,84 R$ 9.534,05

Com os dados do fornecedor, é possível calcular o investimento total (pois sabe-se o valor do metro de isolante em cada caso, bem como o comprimento da tubulação):

Material 3/8″ (9,5mm) 1/2″ (12,7mm) 3/4″ (19,0mm) 1″ (25,4mm) 1-1/2″ (38,1mm)
Tipo A R$ 8.316,00 R$ 10.573,20 R$ 15.032,16 R$ 19.087,20 R$ 27.197,28
Tipo B R$ 6.300,00 R$ 8.010,00 R$ 11.388,00 R$ 14.460,00 R$ 20.604,00
Tipo C R$ 5.197,50 R$ 6.608,25 R$ 9.395,10 R$ 11.929,50 R$ 16.998,30

As indicações vermelhas são dadas para os isolantes que têm o valor de investimento total acima do orçamento permitido (R$10.000,00), por isso são descartados como possibilidade.

Sabendo qual é a economia mensal e o investimento total, é possível calcular o tempo de retorno do investimento em meses, como mostra a tabela abaixo.

Material 3/8″ (9,5mm) 1/2″ (12,7mm) 3/4″ (19,0mm) 1″ (25,4mm) 1-1/2″ (38,1mm)
Tipo A 1,0 1,2 1,6 1,9 2,6
Tipo B 0,9 1,0 1,3 1,5 2,1
Tipo C 0,8 0,9 1,1 1,3 1,8

 

Escolha do Isolamento Térmico Adequado

Dada a restrição imposta (orçamento máximo de R$10.000), o isolamento térmico mais adequado é o Tipo C, com espessura de 3/4″ (19,0mm), que tem investimento total de R$ 9.395,10 e tempo de retorno do investimento estimado em 1,1 meses, trazendo para a indústria uma economia mensal de R$ 8.209,06.

Outra saída também é conversar com seu chefe e pedir um pequeno aumento no orçamento. A possibilidade de gastar mais R$ 573,20 (aumento de 5,7% no orçamento) possibilita a compra do isolamento Tipo A de 1/2″ (12,7mm), elevando a economia mensal para R$ 8.660,52 (aumentando em R$ 451,46), recuperando o aumento no orçamento em um pouco mais de um mês.

 

Referências

[1] INCROPERA, Frank, et. al. Fundamentos de Transferência de Calor e Massa. 7 ed. Rio de Janeiro: LTC, 2015.

[2] BOETCHER, Sandra. Natural Convection from Circular Cylinders. Springer, 2014.

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