Dimensionamento e Validação da Malha de um Trocador de Calor

1  Introdução

Trocadores de calor duplo tubo são empregados para aquecimento ou resfriamento de fluidos de processos químicos nos casos em que a área de troca térmica necessária é pequena (até 50 m2). Eles são formados por dois tubos concêntricos com diâmetros distintos. Como mostra a Figura 1, os conjuntos de tubos são conectados em uma das extremidades na forma de U. Este arranjo permite que o trocador tenha área suficiente para o serviço reduzindo o espaço físico da instalação. Um dos fluidos circula pelo tubo interno e o outro circula na região anular entre os tubos interno e externo. Cada conjunto de ida e retorno dos fluidos é chamado de grampo.

trocador

Figura 1 – Construção e diagrama esquemático de um trocador de calor tuplo tubo com um grampo

Uma planta química deve aquecer 5 000 kg/h de água a 20°C usando água pressurizada a 140°C como fluido de aquecimento, com vazão de 1,38kg/s. No almoxarifado da planta há grampos de 3,5 m de comprimento formados por um tubo interno com 2 in (50,8 mm) de diâmetro e um tubo externo de 3 in (76,2 mm) de diâmetro. A espessura do tubo interno é de 4 mm e a espessura do tubo externo pode ser desprezada. Os tubos são feitos de cobre e a parede externa do trocador é isolada para evitar perda de energia para o ambiente.

A equipe de Engenharia decidiu alocar o fluido frio (água a 20°C) no espaço anular do trocador, enquanto a água quente circula pelo tubo interno. Para maximizar a troca térmica, as correntes devem escoar em contracorrente, ou seja, o fluido quente entra na seção de saída do fluido frio e vice-versa.

Pede-se para simular o trocador de calor e analisar seu desempenho térmico e hidráulico (bem como a descrição dos modelos utilizados e a justificativa e dimensionamento da malha através de um teste de convergência). Inicialmente, este artigo tratará do dimensionamento e da validação da malha, um processo detalhado e importante do projeto de simulação.

 

2  Geometria

A geometria consiste em tubos concêntricos de 2in e 3in em formato de U com 3,5m de comprimento e 152,4mm de largura, como mostram as Figuras 2 e 3.

O uso de simetria no plano XY reduzirá pela metade o domínio computacional.

geometria_1

Figura 2 – Geometria completa com indicação do comprimento

geometria_2

Figura 3 – Detalhe das entradas e saídas concêntricas

 

3  Malhas

A malha será dividida em dois domínios: o tubo externo e o interno. As características relevantes para o dimensionamento são tamanho dos elementos nas paredes (espessura e comprimento) e o tamanho dos elementos no interior do domínio fluido.

 

3.1  Camada de Prismas

O cálculo da camada de prismas a ser utilizada resulta em 3 parâmetros: Espessura do Primeiro Elemento (First Element Thickness), Número de Camadas (Number of Layers) e Taxa de Crescimento (Growth Rate).

Os fatores que determinam estes valores (principalmente a Espessura do Primeiro Elemento) são parâmetros físicos (como o Re, número de Reynolds) e numéricos (como o y^+ , distância adimensional da parede, valor que depende do tratamento de parede utilizado).

O tratamento de parede escolhido, devido à limitação computacional de elementos e nós, será o de modelar a camada limite. Esta suposição acarreta erros em certas regiões da solução, como na localização do ponto de descolamento da camada limite na curva do trocador, no entanto, por representar uma porção menor do domínio, esta simplificação é tolerável. A modelagem da camada limite exige uma Espessura do Primeiro Elemento de forma que o y^+ esteja na faixa de aproximadamente 30 a 50, que é o início do trecho chamado de Região Logarítmica, como mostrado na Figura 4.

lei_de_parede

Figura 4 – Gráfico do perfil de velocidades turbulento próximo à parede

O procedimento para obter uma malha com o y^+ na faixa desejada é: obter uma primeira estimativa (neste caso, aproximando para os cálculos em um tubo comum); caso o resultado esteja fora do desejado (pois os cálculos analíticos são apenas uma aproximação), corrigir proporcionalmente a Espessura do Primeiro Elemento.

 

3.1.1  Primeira Estimativa

A estimativa tomará como base o tubo interno. Sabendo que seu diâmetro é D_i = 50,4mm , a vazão interna é de \dot{m}_i = 1,38kg/s e a densidade é \rho = 997 kg/m^3 , a velocidade média será:

V_i = \frac{\dot{m}_i}{\rho A_i} = \frac{4\dot{m}_i}{\pi \rho D_i^2} = 0.6938m/s

Sabendo que a viscosidade dinâmica da água é considerada como \mu = 0.0008899 Pa.s , o número de Reynolds é:

Re = \frac{\rho V_i D_i}{\mu} = 39.176

Confirmando que o escoamento é turbulento e necessitará de atenção redobrada na camada limite.

Primeiramente, é necessário estimar a perda de carga por metro da tubulação, e consequentemente o fator de atrito. Pela equação de Haaland, para um tubo liso:

\frac{1}{\sqrt{f}} = -1,8 \log{\frac{6.9}{Re}} \xrightarrow{} f = 0,0219

Então a perda de carga por metro será:

\frac{\partial p}{\partial x} = \frac{\Delta P}{L} = \frac{f\rho V^2}{2D} = 150,28 Pa/m

Através deste valor, é possível estimar a tensão cisalhante nas paredes

\tau_w = -\frac{D}{4} \frac{\partial p}{\partial x} = 1,894 Pa

E também a velocidade de fricção

u_\tau = \sqrt{\frac{\tau_w}{\rho}} = 0,0436 m/s

Finalmente, como é desejado um y^+ entre 30 e 50, os valores da Espessura do Primeiro Elemento devem estar entre

\Delta y_{30} = \frac{y^+\mu}{\rho u_\tau} = 0,61mm ; \Delta y_{50} = 1,02mm

Portanto, o valor a ser testado na primeira tentativa é de 0,80mm.

Poderia ser estimado também de forma direta mais conservadora:

\Delta y = \frac{y^+\mu}{\sqrt{\tau_w \rho}} = \frac{2\sqrt{2}y^+\mu}{\rho V\sqrt{f}} \approx \frac{5y^+\mu}{\rho V} \log{\left( \frac{Re}{7} \right) }

 

3.1.2  Correção

Ao testar o valor da Espessura do Primeiro Elemento, é utilizada uma malha com 378.017 nós e 328.820 elementos, mostrada na Figura 5.

malha_estimada

Figura 5 – Malha Estimada com \Delta y = 0,80mm

Através do pós-processamento, é possível ver o valor real do y^+ nas paredes. Há três paredes de interesse para este problema: a parede do tubo interno e as paredes interna e externa do tubo externo. Cada uma terá sua faixa de valores adequada para o obter 30 < y^+ < 50 , que pode ser estimada sabendo que \Delta y \propto y^+ . Por exemplo, se o valor de \Delta y_{estimado} = 1mm e o y^+_{real} = 80 , é provável que seja necessário reduzir o \Delta y pela metade, de forma que \Delta y_{corrigido} = 0,5mm e y^+_{corrigido} \approx 40 .

O valor de cada y^+_{real} das paredes é mostrado na Figura 6.

yplus_real_tubo_interno

Figura 6 – (a) Tubo Interno: y^+ médio de 32,5

yplus_real_tubo_externo_parede_interna

Figura 6 – (b) Parede Interna do Tubo Externo: y^+ médio de 29,4

yplus_real_tubo_externo_parede_externa

Figura 6 – (c) Parede Externa do Tubo Externo: y^+ médio de 28,8

Portanto, para que o valor médio de y^+ das paredes se torne próximo à 40, os valores de Espessura de Primeiro Elemento devem se tornar 1,0mm para o tubo interno e 1,1mm para as paredes interna e externa do tubo externo. A Figura 7 mostra o y^+ após a primeira iteração de correção.

 

yplus_corrigido_tubo_interno

Figura 7 – (a) Tubo Interno: y^+ médio de 40,6

yplus_corrigido_tubo_externo_parede_interna

Figura 7 – (b) Parede Interna do Tubo Externo: y^+ médio de 40,5

yplus_corrigido_tubo_externo_parede_externa

Figura 7 – (c) Parede Externa do Tubo Externo: y^+ médio de 39,6

 

3.2  Dimensionamento da Malha

Não há metodologia absoluta para dimensionamento de malha, no entanto, há boas práticas e proporções coerentes que podem ser utilizadas para guiar a escolha dos tamanhos de referência.

Deve-se sempre levar em consideração as limitações de máquina ou, no caso deste trabalho, também de licença (512.000 nós ou elementos).

Primeiro, é necessário definir o método de geração para cada domínio. Por se tratar de um tubo, o Sweep é adequado para ambos. No método Sweep, o usuário malha uma face de referência (nesse caso a entrada ou saída do tubo, suas extremidades) e a malha é extrudada no domínio, gerando uma malha prismática de alta qualidade e fácil controle.

O comprimento dos elementos na direção longitudinal, ou de extrusão, pode assumir valores de até 200 vezes a Espessura do Primeiro Elemento (em torno de 0,8mm, neste caso). Então, o comprimento dos elementos extrudados usado será de 8mm (10 vezes).

A taxa de crescimento da malha pode ser entre 1,05 e 1,3, sendo escolhido o valor de 1,2 para resultar em transições mais rápidas e menos elementos.

Na escolha do número de camadas e do tamanho dos elementos do volume deve haver um equilíbrio. Um número razoável de camadas está entre 3 e 15 quando modelando a camada limite (30 < y^+ < 50 ) ou entre 10 e 30 quando resolvendo a camada limite (y^+ < 1 ). Com relação ao tamanho do volume, pode-se tomar como base as frações de um comprimento característico, como D/10 a D/40 para tubulações ou L/5 a L/20 para passagens finas (como é o caso do tubo externo). As frações podem ter valores ainda menores, até D/2 ou L/2 em casos em que a camada de prismas for extensa (então efetivamente há muito mais elementos na seção). Não existe valor correto, apenas estimativas iniciais. A qualidade destas estimativas (e suas respectivas correções) é avaliada na fase do Teste de Convergência de Malha, quando são testadas ao menos 3 malhas com diferentes níveis de refinamento e observados os valores das variáveis de interesse do problema. No caso do trocador de calor, estas variáveis podem ser a temperatura de saída dos fluidos, a perda de carga ou mesmo o fluxo de calor entre os fluidos.

Por último, para decidir o número de camadas e o tamanho dos elementos do volume, é importante, para a suavidade da solução e a estabilidade numérica, que a espessura do último elemento seja pelo menos 25% do tamanho dos elementos do volume.

Para a malha corrigida foram usados 312.008 nós e 270.108 elementos, o tubo interno teve um tamanho de elemento em torno de D/10 (5,0mm), e o tubo externo, em torno de L/3 (4,0mm), em que L é a espessura do canal concêntrico. A tabela mostra os valores utilizados nas paredes.

Região

y (mm)

N

Taxa de Crescimento

% da Referência

Tubo Interno

1,0

4

1,2

35%

Tubo Externo

1,1

3

1,2

40%

Tabela 1 – Valores usados na construção da malha

 

3.3  Controle de Qualidade

Também não há métodologia absoluta para controle de qualidade em malhas. No entanto, algumas variáveis podem ser utilizadas para auxiliar nesta tarefa, como Skewness e Orthogonal Quality. Vale ressaltar que os elementos prismáticos para captura de camada limite normalmente serão bastante distorcidos, portanto será necessário relevar seus indicadores ruins em alguns casos.

3.3.1  Skewness

O Skewness, ou distorção, é um indicador do quão próximo um elemento está do ideal. A medida é feita como:

\text{Skewness} = \frac{\text{Tamanho Otimo - Tamanho do Elemento}}{\text{Tamanho Otimo}}

Em que o tamanho ótimo é o tamanho de um elemento equilátero com o mesmo circunraio. Portanto, quanto maior o Skewness, pior o elemento está. A Figura 8 mostra exemplos de formas com alto e baixo Skewness.

skewness

Figura 8 – Formas geométricas ideais e com alto Skewness (distorcidas)

Uma boa malha deve ter Skewness máximo abaixo de 0,8, uma aceitável, abaixo de 0,95. A malha analisada tem Skewness Máximo de 0,63.

 

3.3.2  Orthogonal Quality

A qualidade ortogonal diz respeito ao alinhamento dos vetores normais às faces do elemento com os vetores ligando os centroides do elemento e dos seus vizinhos. Quanto mais desalinhado, pior a qualidade. Uma boa malha deve ter uma Orthogonal Quality Mínima acima 0,2, uma aceitável, acima de 0,15. A malha analisada tem Orthogonal Quality Mínima de 0,50.

 

3.4  Convergência de Malha

Para validar os valores escolhidos e ter a certeza de que o resultado está independente, até um erro tolerado, da malha utilizada, é feito o Teste de Convergência de Malha. Neste caso, serão testadas 6 malhas com diferentes tamanhos de referência.

Vale ressaltar que na mudança das malhas, não se deve modificar a Espessura do Primeiro Elemento, pois ela é determinada pelo valor de y^+ , que deve ser em torno de 40. Na camada prismática apenas muda-se a taxa de crescimento e o número de camadas.

As seis malhas utilizadas são descritas a seguir.

Malha

Comprimento (mm)

Tubo Interno (mm)

Tubo Externo (mm)

Elementos

1

17,5

10,3

8,4

62.276

2

14,4

8,6

7,0

82.450

3

12,0

7,2

5,8

122.628

4

10,0

6,0

4,8

176.343

5

8,0

5,0

4,0

270.108

6

6,5

4,2

3,4

375.428

Tabela 2 – Malhas usadas no teste de convergência

 

A Figura 9 mostra a convergência do valor de troca térmica entre os dois fluidos. A partir da 3a malha (122.628 elementos), o valor já muda muito pouco, com uma variação de apenas 0,1%.

convergencia_troca_termica

Figura 9 – Convergência do valor da Troca Térmica entre os Fluidos

Já a Figura 10 mostra a convergência dos valores de temperatura de saída do fluido quente (tubo interno) e fluido frio (tubo externo). Observa-se que a partir da 4a malha, a variação é de até 0,02°C.

convergencia_temperatura

Figura 10 – Convergência do valor das Temperaturas de Saída dos Fluidos Quente (Tubo Interno) e Frio (Tubo Externo)

A Figura 11 mostra a convergência do valor da perda de carga na tubulação interna e externa. A partir da 4a malha, a variação é de 2%.

Então, a 4a malha (176.343 elementos) foi considerada a mais adequada para um equilíbrio entre esforço computacional e qualidade dos resultados.

convergencia_perda_de_carga

Figura 11 – Convergência do valor das Perdas de Carga dos Fluidos Quente (Tubo Interno) e Frio (Tubo Externo)

A Figura 12 mostra a malha mais grosseira, mais fina e a escolhida dentre as 6 malhas testadas para convergência.

malhas_convergencia

Figura 12 – (a) Malha mais grosseira: 62.276 elementos. (b) Malha escolhida: 176.343 elementos. (c) Malha mais fina: 375.428 elementos

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